Zahlentheorie by Ralf Gerkmann

By Ralf Gerkmann

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Dann definieren wir φ( ¯ Zu zeigen ist nun, dass für alle a ∈ R die Gleichung φ([a ]I ) = φ(a ) erfüllt ist. Sei a ∈ R beliebig und a ∈ S das eindeutig ¯ bestimmte Element mit [a]I = [a ]I . Dann gilt nach Definition φ([a ]I ) = φ(a), wir müssen also φ(a) = φ(a ) zeigen. Wegen [a]I = [a ]I ist a − a in I ⊆ ker(φ) enthalten. Also gilt φ(a ) = φ(a + a − a) = φ(a) + φ(a − a) = φ(a) + 0 = φ(a). Dass φ¯ ein Homomorphismus von Ringen ist, folgt unmittelbar aus der bewiesenen Gleichung und der Homomor¯ ¯ b¯ ∈ R/I vorgegeben und a, b ∈ R mit a¯ = [a]I , phismus-Eigenschaft von φ.

Nach Induktionsvoraussetzung gilt m − 1 = n ⇔ m = n + 1. Außerdem ist nach Umnummerierung das Element p 2 assoziiert zu εq 2 (also auch zu q 2 ), und es gilt p i ∼ q i für 3 ≤ i ≤ m. 5 Sei R ein Integritätsbereich und P ⊆ R eine Teilmenge bestehend aus Primele- menten. Wir nennen P ein Repräsentantensystem der Primelemente in R, wenn jedes Primelement q ∈ R zu genau einem p ∈ P assoziiert ist. Beispielsweise bilden die Primzahlen p ∈ N ein Repräsentantensystem der Primelmente in Z. Ist K ein Körper, dann bilden die normierten irreduziblen Polynome (also die irreduziblen Polynome mit dem Leitkoeffizienten 1K ) ein Repräsentantensystem in K [x].

12 Sei R ein Hauptidealring, aber kein Körper, und p ∈ R. Dann sind die folgenden Aussagen äquvialent. (i) Das Element p ist prim. (ii) Das Element p ist irreduzibel. (iii) Das Ideal (p) ist maximal. (iv) Das Ideal (p) ist ein Primideal, und es gilt p = 0R . 6 ist jedes Primelment in einem Integritätsbereich irreduzibel. „(ii) ⇒ (iii)“ Zunächst ist (p) = (1) unmöglich, denn sonst wäre p eine Einheit und damit kein irreduzibles Element. Sei nun m ein Ideal mit (p) ⊆ m ⊆ (1) und a ∈ R mit m = (a).

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