Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung: Zweiter by Professor A. Ostroski (auth.)

By Professor A. Ostroski (auth.)

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Kommt aber in (11,4) keine Zahl n 0 unter den v" unendlich oft vor, so konvergiert (11,4) gegen 0. Wir sehen, dass die derivierte Menge M' vonMaus allen Zahlen von der Form 1/v (v = 2, 3, ... ) und den Zahlen 0 und 2 besteht. Da damit M' nicht in M enthalten ist, schon weil die Null in M nicht steckt, ist M nicht abgeschlossen. Die Menge M' hat aber offenbar als die einzige Häutungsstelle 0, die in M' enthalten ist. Wir sehen, dass M" nur aus der Zahl 0 besteht1). 12. Offene Mengen. Rand einer Menge Ein Gegenstück zum Begriff der abgeschlossenen Menge ist der Begriff einer n-dimensionalen offenen Punktmenge.

Andererseits liegen in jedem Intervall (5- e, 5 + e) um 5 Zahlen aus IDC, da 5- e für e > 0 von gewissen Zahlen aus ID1 übertroffen wird, dagegen nicht 5 selbst. Und da 5 selbst nicht zu ID1 gehört, folgt, dass 5 in diesem Fall eine Häufungsstelle von ID1 ist. In diesem Falle ist aber 5 die grösste der Häutungsstellen von IDC, da, wie wir oben gesehen haben, keine dieser Häutungsstellen 5 übertreffen kann. Wir erhalten den folgenden Satz: Es sei ID1 eine nach oben beschränkte Zahlenmenge. Besitzt ID1 ein Maximum, so ist die obere Grenze von ID1 gleich diesem Maximum.

Mit diesem Widerspruch ist der Satz bewiesen. h. eine kleinste Zahl enthält. 17. Obere und untere Grenze Es sei 9)1 eine «nach oben beschränkte)> Zahlenmenge, d. h. eine Menge, zu der es solche Konstanten C gibt, dass für jedes a aus ID1 a~ C gilt. Solche Konstanten C heissen dann obere Schranken von 9)1. Wir behaupten nun, dass es unter den oberen Schranken einer nach oben beschränkten Zahlenmenge ID1 eine kleinste gibt. Denn es sei C0 irgendeine obere Schranke von 9)1, die nicht die kleinste ist.

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