The calculus of variations by Murnaghan F.D.

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Example text

P ¬p W F F W Auch das kennen Sie schon, in der Sprache verwendet man das nicht“ in der gleichen Bedeutung. Beispiele d¨ urften sich er¨ ubrigen. ” ⇒ folgt Diese Verkn¨ upfung logischer Aussagen tritt sehr h¨ aufig auf. Man schreibt p ⇒ q und sagt p folgt q“ oder auch p impliziert q“, wenn jedesmal, wenn p ” ” wahr ist, auch q wahr ist. Auf den ersten Blick erkl¨art diese Definition nur die erste Zeile der zu ⇒“ ” geh¨origen Wahrheitstafel: ..............................................................................

Das ist h¨aufig von Vorteil, da Beweise und Definitionen in P¨ unktchen-Schreibweise oft plausibler werden, etwa: n! := 1 · 2 · · · n xn := x · x · · · x . n-mal Im Prinzip m¨ usste aber jede Definition, jeder Beweis ohne P¨ unkt¨ chen auskommen k¨onnen. Kleine Ubung: Versuchen Sie sich an einer sauberen Definition f¨ ur das Produktzeichen: n xk := x1 · x2 · · · xn . k=1 ? Was ist ein Produkt aus einem einzigen Faktor, wie behandelt man n + 1 Faktoren, wenn f¨ ur n Faktoren schon alles bekannt ist?

Anschaulich ist nat¨ urlich nk=1 xk = x1 + x2 + · · · + xn . Durch die saubere Definition konnten wir die P¨ unktchen · · ·“ vermeiden. ” Umgekehrt: Wenn Sie in einem mathematischen Zusammenhang P¨ unktchen · · ·“ antreffen, so wollte jemand sehr wahrscheinlich eine ” vollst¨andige Induktion bei einem Beweis oder einer Definition einsparen. Das ist h¨aufig von Vorteil, da Beweise und Definitionen in P¨ unktchen-Schreibweise oft plausibler werden, etwa: n! := 1 · 2 · · · n xn := x · x · · · x . n-mal Im Prinzip m¨ usste aber jede Definition, jeder Beweis ohne P¨ unkt¨ chen auskommen k¨onnen.

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