Lehrbuch der Analysis: Teil 2 by Harro Heuser

By Harro Heuser

Inhalt
Banachr?ume und Banachalgebren - Anwendungen - Das Lebesguesche essential - Fourierreihen - Anwendungen - Topologische R?ume - Differentialrechnung im R - Wegintegrale - Anwendungen - Mehrfache R-Integrale - Integrals?tze - Anwendungen - Mehrfache L-Integrale - Die Fixpunktans?tze von Brouwer, Schauder und Kakutani - Anwendungen - Ein historischer journey d'horizon - Statt eines Nachworts - L?sungen ausgew?hlter Aufgaben

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6b und d). 4. Auf dem Intervall [a, b] seien drei reellwertige Funktionen Xl (t), X2(t), X3(t) erklärt. R 3 werde mit irgendeiner Norm ausgestattet. 4) eine Abbildung Ader Teilmenge [a, b] des Banachraumes R in den Banachraum R3 definiert. {A t: tE [a, b]} kann - und wir haben das schon oft getan - als Bahn eines bewegten Punktes im Anschauungsraum aufgefaßt werden. Sind die drei KompoWir verwenden, wie schon früher, die klammernsparende Schreibweise Afstatt A (f). Konvergenz ist hier wie auch im folgenden immer im Sinne der jeweiligen Norm zu verstehen.

AnE2(l1) werde durch An(x" X2, ... ):= (XI, ... , Xm 0, 0, ... ) definiert (n = 1,2, ... ). (An) konvergiert punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen [. 11. A besitze die folgende Eigenschaft (vgl. 6e): Das Bild (A x n ) jeder beschränkten Folge (x n ) enthält eine konvergente Teilfolge. Zeige, daß A beschränkt und somit stetig ist. *12. Zwei Normen 11·111 und 11·112 auf E sind genau dann äquivalent, wenn es positive Zahlen 1'" 1'2 gibt, so daß für alle XEE ist. Hinweis: Betrachte [als Abbildung von (E,II·III) auf(E, 11·112) und umgekehrt.

1) Iq(x) schreiben können (wir werden manchmal die Zeilen- und manchmal die Spaltenschreibweise bevorzugen). Jedes Iv ist eine reellwertige Funktion auf X (eine reellwertige Funktion vonp reellen Veränderlichen) und wird die v-te Komponentenfunktion von f genannt. 1) schreiben wir häufig auch in der kompakteren Form f=(f;, ... ) . 2) Sei ~:= (gI> ... , gp) ein Punkt von X. 8 in R m punktweise Konvergenz und Normkonvergenz gleichbedeutend sind, sehen wir, daß f genau dann in ~ stetig ist, wenn aus stets folgt, immer vorausgesetzt, daß die Punkte x n := (x\n), ...

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