Lehrbuch der Analysis: Teil 1 by Harro Heuser

By Harro Heuser

Buchhandelstext
Mit dem "Heuser", dem Klassiker unter den research - Lehrb?chern, wurden Generationen von Mathematik- Anf?ngern mit den Grundlagen der research bekannt gemacht und behutsam in die Denkweise der Mathemaitik eingef?hrt. Die "praktischen" Auswirkungen der Theorie werden an zahlreichen mit Bedacht ausgew?hlten Beispielen aus den verschiedensten Wissen- und Lebensgebieten demonstriert: u.a. aus Physik, Chemie, Biologie, Psychologie, Medizin, Wirschaftswissenschaft und Technik.

Inhalt
Mengen und Zahlen - Funktionen - Grenzwerte von Zahlenfolgen - Unendliche Reihen - Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen - Differenzierbare Funktionen - Anwendungen - Der Taylorsche Satz und Potenzreihen - Anwendungen - Integration - Uneigentliche und Riemann-Stieltjessche Integrale - Anwendungen - Vertauschung von Grenz?berg?ngen - Gleichm??ige und monotone Konvergenz - L?sungen ausgew?hlter Aufgaben

Zielgruppe
Studenten der Mathematik, Physik, Informatik ab 1. Semester

?ber den Autor/Hrsg
Professor Dr. Harro Heuser, Universit?t Karlsruhe

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A (schon oben erklärt), a 3 :=a' a' a usw. Es ist die Potenzen von i wiederholen sich also periodisch. Die Lage dieser Potenzen in der Zahlenebene, die (spiegelbildliche) Lage zueinander konjugierter Zahlen und die Bedeutung der Bezeichnungen "reelle Achse" und "imaginäre Achse" kann der Leser aus Fig. 1 entnehmen. -1 1 h)Zeige:a:=(ä)=a,a+b=ä+b,ab=lib, b =b' b =b - _ _- _( ) (a) a imaginäre Achse i~ . 1 . -______ i2 1=i 4 : «I I 1 I I • a=Q'j-i«2 Fig. 1 reelle Achse 44 I Mengen und Zahlen (in den beiden letzten Gleichungen ist natürlich b=l= 0 vorauszusetzen).

Definitionen dieser Art, bei denen Begriffe oder Größen A(n), die noch von der natürlichen Zahl n abhängen (wie etwa n-gliedrige Summen oder Produkte) mit Hilfe einiger oder aller der schon erklärten A(I), ... , A(n -1) bestimmt werden, nennt man rekursive Definitionen (von lat. recurrere = zurückgehen). Man spricht auch von Definitionen durch vollständige Induktion, weil man das Induktionsprinzip zu dem Nachweis heranzieht, daß A(n) tatsächlich für jedes nE N definiert ist. Auf die allgemeine Theorie rekursiver Definitionen brauchen wir nicht einzugehen; den grundlegenden Satz findet der hieran interessierte Leser in van der Waerden [17].

Eine Zahl theißt Trennungszahl des Schnittes (A I B), wenn a ~ t ~ b für alle aEA und alle bEB ist. Unser letztes Axiom lautet nun folgendermaßen: (A 9) Schnittaxiom oder Axiom der Ordnungsvollständigkeit: Jeder Dedekindsche Schnitt besitzt eine, aber auch nur eine, Trennungszahl. Es ist hier der Ort, auf eine Eigentümlichkeit der mathematischen Ausdrucksweise aufmerksam zu machen. Wenn wir sagen, daß es eine Zahl mit einer gewissen Eigenschaft gibt, so bedeutet dies genauer, daß es mindestens eine Zahl dieser Art (vielleicht aber auch mehrere) gibt.

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