Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour V-1975 by Prof. A. Badrikian, Prof. J. F. C. Kingman, Prof. J. Kuelbs

By Prof. A. Badrikian, Prof. J. F. C. Kingman, Prof. J. Kuelbs (auth.), Prof. P. -L. Hennequin (eds.)

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Soit alors Cf ) une C-suite dens n L p [X, ~ , ~) : c'est une C - s u i t e KHINCHINE-KOLMOGOROPF, dens L ~ ~ X , ~ , ~ ) ; e t p a r l e lemme de elle converge vers z@ro presque partout sur tout ensemble de mesure finie (donc presque partout si (X, ~ , B) est o-fini). En utilisant le tb@or~me d'EGOROFF et compte tenu du felt que les (f) sont nulles en debors d'un ensemble ~-fini, on peut @crire : n eo X = U X. U N i=O i aveo pour tout n, f i, Xi ~ les f n n est nulle presque partout sur N r F,X i c Xi+ ~ , ~ [X i ) < t e n d e n t v e r s z@ro uniform@ment s u r cheque X .

P Dens la suite, nous dirons simplement au lieu de mesurable". "p-fortement PROPOSITION "p-mesureble" 1 : Soit { : X + E ; les conditions suivantes sont @quivalentes (1) 4 est p-mesureble ; [2) I1 existe N ~ ~ avec p(N) soit ( ~#NC , ~ E)-mesurable : = 0 telle que la restriction et que 4(N c] contienne de 4 & N c un sous-ensemble d@nom- brable partout dense. O@monstration : Avant tout, rappelons que la proposition autant que p e s t tion o-4inie ; autrement dit, il {audrait ajouter ~ la condi- (2) "4 est nulle en dehors d'un ensemble (1) ~> (2) vers 4(x) : Soit N r ~ pour t o u t tel que p [ N ] o-fini".

R@elles n sur cet espace, ayant une esp@rance. On suppose qu'il existe une suite croissante (~n) de sous-tribus d e # telles q u e : - Xm est o~n -mesurable si m ~ n - E~n [Xn+ 1) = 0 Vn, Le syst~me de Hear sur [[0, 1], dx) a c e s Soit ( x ) n Posons propri@t@s. une suite d'@l@ments du Banech E. n [n E N] Yn. = ~ Xm x m m=O I1 est clair que (X n, ~n ) est une martingale, car E~n[Yn+ 1- Yn) = E~n[Xn+lXn+l ) = Xn+ 1 E~n[Xn+ 1) = O, 56 w 2 : FONCTIONS I1 y a une d~finition mesurable. ), (E, F) un couple est F-scalairement f> d'espaces mesurable est p-mesurable.

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