# Distribution of zeros of entire functions by B. Ja. Levin

By B. Ja. Levin

Publication through B. Ja. Levin

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2. 3. 4. μ∗ (∅) = 0, μ∗ (A) ≥ 0 ∀ A ∈ P(Ω) , A ⊆ B ⇒ μ∗ (A) ≤ μ∗ (B) An ⇒ μ∗ (A) ≤ A⊆ n∈N (Monotonie von μ∗ ), μ (An ) (σ-Subadditivität von μ∗ ) . ∗ n∈N Beweis. Da die Eigenschaften 1. - 3. offensichtlich sind, bleibt nur die abzählbare Subadditivität von μ∗ zu zeigen. Falls die Summe auf der rechten Seite von 4. unendlich ist, ist nichts mehr zu beweisen. Daher nehmen wir an, dass diese Summe endlich ist. 1) gibt es für jedes n ∈ N und ε > 0 Folgen von Mengen (Cn,m ) ∈ R , Cn,m und μ(Cn,m ) ≤ μ∗ (An ) + ε 2−n ∀ n ∈ N .

Sind die Ereignisse A1 , . . , An unabhängig, so sind für jede Menge {i1 , . . ik } ⊆ {1, . . , n} auch die Ereignisse Aci1 , . . , Acik , Aj1 , . . , Ajn−k mit {j1 , . . , jn−k } := {1, . . , n} \ {i1 , . . ik } unabhängig. Beweis. 8 mit Ci := {Ai } und Aσ (Ci ) = {∅, Ai , Aci , Ω} . 10 (Eulersche ϕ-Funktion). Die Eulersche ϕ-Funktion ϕ(m) ist für jedes m ∈ N deﬁniert als die Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen aus {1, . . , m} . Wir werden ihren Wert mit Hilfe des obigen Satzes bestimmen.

14. Ist μ ein endlicher Inhalt auf einem Semiring T , so gilt für alle A, B ∈ T mit B \ A ∈ T μ(B) − μ(A) ≤ μ(B \ A) . 11) B) . Beweis. Aus A, B ∈ T folgt A∩B ∈ T und daher gilt nach dem obigen Lemma μ(B \ A) = μ(B \ (A ∩ B)) = μ(B) − μ(A ∩ B) ≥ μ(B) − μ(A) . Gilt außerdem A B ∈ T und A \ B ∈ T , so erhält man μ(A B) ≥ μ(A \ B) ≥ μ(A) − μ(B) ∧ μ(A Daraus folgt sofort μ(A B) ≥ μ(B \ A) ≥ μ(B) − μ(A) . B) ≥ |μ(A) − μ(B)| . 2 Die Fortsetzung von Inhalten und Maßen auf Ringe Wir werden sehen, dass es ausreicht, eine Maßfunktion auf einem Semiring festzulegen, da das auf dem Semiring T deﬁnierte Maß unter sehr allgemeinen Voraussetzungen in eindeutiger Weise auf Rσ (T) fortgesetzt werden kann.