By Hans Grauert, Inge Lieb
Lesungen gemaB solI auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in hoherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen moglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennenzulernen. Dementsprechend sind aIle Beweise bis in die Einzel heiten hinein ausgeflihrt, und in den ersten Paragraphen werden wich tige Beweismethoden eigens erlautert. Dabei nehmen wir jedoch den logischen und mengentheoretischen Gesetzen gegenliber einen naiven," d. h. nicht-axiomatischen, Standpunkt ein. Das gilt besonders flir das Prinzip der vollstandigen Induktion und damit auch flir den Begriff der natlirlichen Zahl und der Folge. Wir geben eine Obersicht iiber den Inhalt des Buches. Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. 1m ersten Kapitel werden die Axiome des rellen Zahlkorpers mit ihren einfachsten Folge rungen ausflihrlich besprochen; die unendlich fernen Punkte + 00 und - 00 werden axiomatisch miteingeflihrt. Die nachsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fuBenden Grenzwertbegriff flir Folgen und Reihen gewidmet. Da wir flir die Definition der Konvergenz die natlirliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen 00 ausgeschlossen. - Die Begriffe limes more suitable" und limes inferior" sind so gefaBt, daB sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harnionieren. Reelle Funktionen werden im vierten Kapitel behandelt. Vor den stetigen werden halbstetige Funktionen definiert. Dieser Funktionstyp ist in Kapitel VII flir die Definition von Umgebungen im Funktions raum wichtig und damit zur Einflihrung des Lebesgueschen Integrals, das in diesem Buch .das unbefriedigende Riemannsche critical ablOst.
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Wir wollen zeigen, daB 8 = supM ist. - Ist x EM, so ist x:::;: x, d. h. M c Mu. Nun ist Mu:::;: 8; daher ist 8 eine ohere Schranke von M. Falls 8' irgendeine ohere Schranke von Mist, so gehort 8' zu M 0 und ist folglich nicht kleiner als 8. Somit ist 8 die kleinste ohere Schranke. In Analogie zum Begriff der oheren Schranke und oheren Grenze fiihrt man die Begriffe ,untere Schranke" hzw. 3. Eine untere Sckranke zu einer nicktleeren Menge M c 1R. ist ein Punkt b E iR. mit b ~ M. Die gro{Jte untere Sckranke von M kei{Jt Infimum oder untere Grenze von M und wird mit inf M bezeicknet.
3) M u u M o = iR . y) Mu;;;;Mo. Mu hei(Jt Untermenge, M 0 Obermenge des Schnittes. Axiom vom Dedekindschen Schnitt. Zu jedem Dedekind8chen Schnitt (Mu, M 0 ) gibt es ein Element 8 E 1R mit Mu;;;; 8;;;; Mo. , fiir die gilt: Mu :5:81 ~Mo, Mu :::;;:82 ~Mo. Nehmen wir an, es sei s1 < sz. Es gibt dann eine Zahl t mit 81 < t < sz. Sind namlich 81, 8z E R, so setze man t = (81 + 8z)f2, ist 81 = - oo, aber sz e R, so wahle man t = s2-I, ist s1 e R, s 2 = + co, so sei t = s1 +I, ist s1 =-co, sz = + oo, so sei t = 0.
Beliebig klein" wird und es keine kleinste positive Zahl gibt. MEDES; Beweis der Folgerung. 2 gibt es ein no E N mit no> Ife. Ist n ~no, n EN, so ist erst recht Ife < n und nach § 4, Regel9, e > Ifn. 3. Es gibt eine positive reelle Zahl s mit s2 = 2. Beweis. : x~O und x2~2}u{+oo}. Wir zeigen zunachst, daB (Mu, M 0 } ein Dedekindscher Schnitt ist, und dann, daB das Quadrat der Schnittzahl 2 ergibt. Offenbar sind Mu und M 0 nicht leer und Mu U M 0 =JR.. Es sei nun a EMu, bE M 0 , a, b =F ± oo. Ist a negativ, so ist a ~ b, da b ~ 0 ist.