Courbes Algébriques Planes by Alain Chenciner (auth.)

By Alain Chenciner (auth.)

Issu d’un cours de maîtrise de l’Université Paris VII, ce texte est réédité tel qu’il était paru en 1978. A propos du théorème de Bézout sont introduits divers outils nécessaires au développement de los angeles proposal de multiplicité d’intersection de deux courbes algébriques dans le plan projectif complexe. Partant des notions élémentaires sur les sous-ensembles algébriques affines et projectifs, on définit les multiplicités d’intersection et interprète leur somme entermes du résultant de deux polynômes. L’étude locale est prétexte � l’introduction des anneaux de série formelles ou convergentes ; elle culmine dans le théorème de Puiseux dont los angeles convergence est ramenée par des éclatements � celle du théorème des fonctions implicites. Diverses figures éclairent le texte: on y "voit" en particulier que l’équation homogène x3+y3+z3 = 0définit un tore dans le plan projectif complexe.

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5) ; l’anneau (E) est donc intègre et se plonge dans son corps des fractions K(E). 1 – Soit E une variété définie sur K. Le corps des fractions K(E) de son anneau de coordonnées (E) s’appelle le corps des fonctions rationnelles sur E. 2 – Soit f ∈ K(E) une fonction rationnelle sur E. On dit que f est définie au point x ∈ E si f peut s’écrire a/b avec b(x) = 0. L’ensemble des points de E où f n’est pas définie est appelé ensemble polaire de f . 3 – Si f ∈ K(E), l’ensemble polaire de f est un sous-ensemble algébrique de E.

On peut donc supposer (après changement de coordonnées projectives éventuel) qu’aucun des points d’intersection ne se trouve sur la « droite de l’infini » d’équation Z. 4) qu’étant donné un polynôme homogène F ∈ K[X, Y, Z], on a défini F ∈ K[X, Y ] par F (X, Y ) = F (X, Y, 1). 1 s’écrit dimK K[X, Y ]/(F , G ) = mn. La démonstration n’est pas très difficile (voir Fulton p. 113, 114). Bien entendu, si f et g ∈ K[X, Y ] sont de degrés respectivement m et n, la dimension de K[X, Y ]/(f, g) n’est pas en général égale à mn ; on affirme ici qu’elle est égale à mn si les polynômes homogènes f , g , Z ∈ K[X, Y, Z] n’ont pas de zéro commun, autrement dit, si f (X, Y, 0) = fm (X, Y ) et g (X, Y, 0) = gn (X, Y ) sont des polynômes homogènes premiers entre eux dans K[X, Y ] (pas de direction asymptotique commune).

M ⎪ . . . . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 . . 0 β 0 β1 . βn−1 βn 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ β1 . βn−1 βn 0 . . 2 – Si A est un anneau intègre, la nullité de R(f,g) équivaut à l’existence de deux polynômes non nuls, φ, ψ ∈ A[Y ], avec degré φ < m, degré ψ < n, tels que f ψ = gφ. 60 5 Le résultant Démonstration. On considère l’identité (α0 + α1 Y + · · · + αm Y m )(v0 + v1 Y + · · · + vn−1 Y n−1 ) =(β0 + β1 Y + · · · + βn Y n )(u0 + u1 Y + · · · + um−1 Y m−1 ) comme un système de m + n équations linéaires en les m + n inconnues u0 , u1 , .

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